DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

Beograd 1990.

III (2+2), IV (2+2)

Smer: N

Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.

Beograd, 1990.

UVOD U FILOSOFIJU

V (2+0), VI (2+0) U

Svi smerovi.

Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.

Beograd, 1990.

RACIONALNA MEHANIKA

V (4+4), VI (4+4) PU

Smer: Racionalna mehanika, Mehanika neprekidnih sredina

0.

UVOD. Predmet i metode racionalne mehanike. Sistematizacija.

1.

KINEMATIKA TAČKE. Svet dogadjaja. Galilejeva transformacija. Koordinatni sistemi, transformacija koordinata. Tangentno i kotangentno raslojenje prostora R³. Dužina luka. Konačna jednačina kretanja tačke. Brzina tačke; kontravarijantne, kovarijantne i fizičke koordinate brzine. Generalisana brzina, sektorska brzina. Ubrzanje tačke; kontravarijantne, kovarijantne i fizičke koordinate ubrzanja tačke. Afina transformacija Euklidovog prostora. Ojlerovi uglovi. Prenosno kretanje; brzina i ubrzanje tačke pri prenosnom kretanju.

2.

KINEMATIKA KRUTOG TELA. Pojam krutog tela. Odredjivanje položaja krutog tela. Konačne jednačine kretanja krutog tela. Rotacija oko fiksirane ose; Ojlerov i Rodrigov obrazac. Brzina tačke krutog tela (polje brzine). Ravansko kretanje, pol brzina. Opšti slučaj kretanja (zavojna osa). Ubrzanje tačke krutog tela. Trenutni centar ubrzanja. Brzina i ubrzanje tačke krutog tela pri relativnom kretanju sistema krutih tela.

3.

KINETIKA MATERIJALNE TAČKE. Telo, masa, sila (aksiomatska svojstva. Njutnove aksiome. Diferencijalne jednačine kretanja materijalne tačke u krivolinijskim koordinatama. Prirodne jednačine kretanja. Potrebni i dovoljni uslovi pravolinijskog kretanja. Kretanje tačke na R u zadanom polju sile. Kretanje tačke u okolini ravnotežnog položaja. Kretanje tačke u R³ u polju sile Zemljine teže. Hitac u otpornoj sredini. Količina kretanja. Teorema o promeni količine kretanja i integral količine kretanja. Moment količine kretanja. Teorema o promeni momenta količine kretanja i integral količine kretanja. Rad sile, potencijalno polje sile. Kinetička energija. Teorema o promeni kinetičke energije. Integral energije. Centralne sile. Njutnova sila gravitacije. Kretanje tačke u polju centralne sile, Bineov obrazac. Pojam veze i neslobodne materijalne tačke. Kretanje materijalne tačke po površi (diferencijalne jednačine kretanja sa množiocima veze). prirodne jednačine kretanja tačke po glatkoj površi. Kretanje materijalne tačke po glatkoj površi u nezavisnim koordinatama. Integral kinetičkog momenta. Integral energije za kretanje tačke po površi. Sferno klatno. Kretanje materijalne tačke po krivoj, diferencijalne jednačine kretanja sa množiocima veza. Jednačine kretanja materijalne tačke po glatkoj krivoj izražene nezavisnim koordinatama. Prirodne jednačine kretanja. Integral energije. Cikloidno klatno. Matematičko klatno. Trenje, diferencijalne jednačine kretanja pri dejstvu sile trenja. Diferencijalne jednačine kretanja materijalne tačke u neinercionom sistemu referencije. Relativno kretanje tačke u odnosu na Zemlju.

4.

KINETIKA MATERIJALNOG SISTEMA. Diferencijalne jednačine kretanja slobodnog materijalnog sistema. Problem dva tela. Veze: holonomne i neholonomne. Moguće brzine, moguća i virtuelna pomeranja. Reakcije veza, glatke veze. Diferencijalne jednačine kretanja sistema materijalnih tačaka na vezama (Lagranžove I vrste). Opšte teoreme o kretanju sistema materijalnih tačaka: teorema o količini kretanja, o momentu količine kretanja i priraštaju kinetičke energije. Prvi integrali jednačina kretanja. Nezavisne koordinate. Konfiguraciona mnogostrukost. Opšta dinamička jednačina. Jednačine kretanja sistema materijalnih tačaka u nezavisnim koordinatama (Lagranžove jednačine I vrste). Analiza Lagranžovih jednačina (potencijalne, giroskopske i disipativne sile). Prvi integrali Lagranžovih jednačina. Simplektnične koordinate. Hamiltonove jednačine kretanja. Rautove jednačine. Principi mehanike. Diferencijalni principi: Dalamberov princip i princip virtualnih pomeranja. Integralni principi: Hamiltonov princip najmanjeg dejstva i Mopertui - Lagranžov princip (skraćenog dejstva). Geometrija masa: centar masa, momenti i proizvodi inercije, tenzor inercije. Elipsoid inercije. Glavni momenti i glavne ose.

5.

KINETIKA KRUTOG TELA. Kinetička energija krutog tela. Količina kretanja i kinetički moment krutog tela. Diferencijalne jednačine kretanja krutog tela (slobodnog). Diferencijalne jednačine kretanja vezanog krutog tela. Ravansko kretanje krutog tela. Obrtanje krutog tela oko nepomične ose. Permanentna i slobodna osa obrtanja. Fizičko klatno. Kretanje krutog tela oko nepomične tačke: Ojlerov, Lagranžov i slučaj Kovaljevske. Giroskop.

ANALIZA 3

Beograd 1990.

V (4+4), VI (4+4) PU

Pogledati smer: Numerička matematikai optimizacija.

NACRTNA GEOMETRIJA

Beograd 1990.

V (2+2), VI (2+2) PU

Smer: M, N, V, R, L

Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.

KOMPLEKSNE FUNKCIJE

Beograd 1990.

V (2+2) PU

Smer: Racionalna mehanika, Mehanika neprekidnih sredina

Pogledati smer: Numerička matematika i optimizacija.

METODIKA NASTAVE

Beograd 1990.

V (2+0) VI (2+0) PU

Svi smerovi

Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.

Beograd, 1990.

STRANI JEZIK 1

V (1+1), VI (1+1) PU

Svi smerovi.

Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.

Beograd, 1990.

PEDAGOGIJA

VI (2+0) U

Svi smerovi.

Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.

Beograd, 1990.

MEHANIKA KONTINUUMA

V (2+2) V (4+4) PU

Smer: Racionalna mehanika, Mehanika neprekidnih sredina

0.

UVOD.

1.

FIZIČKI OSNOVI. Prostiranje talasa kroz diskretne sisteme. Sila izmedju čestica. Aproksimacija. Materijalni kontinum. Telo masa i gustina.

2.

DEFORMACIJA. Koordinate. Konfiguracija. Gradijenti deformacije. Vektor pomeranja. Operator paralelnog pomeranja. Tenzor deformacije. Materijalni linijski element. Tenzori infinitezimalne deformacije i rotacije. Analiza deformacije. Glavne invarijante tenzora deformacije. Rotacija. Fundamentalna teorema. Invarijantni pravci. Elementi površi i zapremine. Uslovi kompatibilnosti. Neke specijalne deformacije. Male deformacije. Morovi krugovi.

3.

KRETANJE. Kretanje. Materijalni izvod. Brzina. Ubrzanje. Putanje. Strujne linije. Materijalni izvodi elemenata luka, površi i zapremine. Tenzor brzine Tenzor vrtložnosti.

4.

NAPON. Zapreminske i površinske sile. Pojam napona. Tenzor napona. Tenzor naponskog sprega. Glavni pravci tenzora napona. Glavni naponi i Glavni smičući naponi. Grafičko predstavljanje naponskog stanja. Zakoni konzervacije. Opšti zakon konvzervacije. Diferencijalni oblik opšteg zakona. Zakon konvzervacije mase. Zakon količine kretanja. Zakon momenta količine kretanja. Jednačine kretanja u odnosu na referentnu konfiguraciju. ( I zakon termodinamike) Zakon konverzije energije. Potencijalna energija. Energija deformacije. Entropija. Entropijska proizvodnja. II zakon termodinamike. Clausius-Duhemova nejednakost. Termodinamička i mehanička ravnoteža.

5.

KONSTITUTIVNE JEDNAČINE. Aksiome konstitutivne teorije. Termomehanički materijali. Termoelastični materijali. Termoviskozni fluidi. Izotropni termoelastični solidi. Linearne konstitutivne jednačine. Izotropni termoviskozni fluidi. ( Navier-ove jednačine kretanja) Navijeove jednačine kretanja. ( Navier-Stokes-ove jednačine kretanja) Navije-Štoksove jednačine kretanja. Jednačina provodjenja toplote.

Beograd, 1990.

RAČUNSKA MEHANIKA

VII (2+2) VIII (2+2) PU

Smer: Racionalna mehanika, Mehanika neprekidnih sredina

1.

ILUSTRACIJE NEKIH OSNOVNIH POJMOVA METODE KONAČNIH ELEMENATA. Ilustracija pojmova spoljašnje i unutrašnje sile, deformacije, krutosti, i pomeranja na primeru elementa štapa. Singularnost matrice krutosti elemenata. Kretanje elementa kao krutog tela duž ose. Odredjivanje pomeranja i sila. Matrični oblik jednačine sistema (dva elementa). Jednačine ravnoteže sistema. Eliminacija stepena slobode krutog tela. Problem slabe uslovljenosti i njegova ilustracija na sistemu dva elementa. Ilustracija sistema više elemenata primerom električne mreže.

2.

JEDNODIMENZIONALNI GRANIČNI PROBLEM I METODA KONAČNIH ELEMENATA. Fizičke osnove i diferencijalna jednačina jednodimenzionalnog graničnog problema. Opšte resenje homogene diferencijalne jednačine jednodimenzionalnog graničnog problema. Postavka jednodimenzionalnog graničnog problema. Varijaciona formulacija jednodimenzionalnog graničnog problema. Težinske (test) funkcije. Simetrična varijaciona formulacija jednodimenzionalnog graničnog problema. Esencijalni granični uslovi. Prirodni granični uslovi. Dopustive funkcije. Galerkinove aproksimacije. Konačno-dimenzonalni prostor dopustivih funkcija. Bazne funkcije linijskih konačnih elemenata. Linearne bazne funkcije. Kvadratne bazne funkcije linijskih konačnih elemenata. Kanonski element. Lagranžova intertpolacija. Procena greške Lagranžove interpolacije. Glatkoća funkcije i red interpolacije.

3.

PRIMENA METODE KONAČNIH ELEMENATA NA OPŠTIJE PROBLEME MEHANIKE KONTINUUMA. Osnovni metrički tenzor u konvektivnim koordinatama. Tenzori deformacije u konvektivnim koordinatama. Linearne interpolacione funkcije za štap kao simpleks. Linearne interpolacione funkcije za trougao. Linearne interpolacione funkcije za tetraedar. Linearne interpolacione funkcije za štap kao kub. Bilinearne interpolacione funkcije za četvorougao. Trilinearne interpolacione funkcije za za heksaedar. Kompaktan oblik i izvodi (multi)linearnih interpolacionih funkcija za familiju kubova. Prikazivanje temperature, vektora položaja, brzine ubrzanja i baznih vektora pomoću interpolacionih funkcija i vrednosti u čvorovima. Odredjivanje komponenti osnovnog metričkog tenzora pomoću interpolacionih funkcija i vrednosti u čvorovima. Prikazivanje brzine deformacije pomoću interpolacionih funkcija. Tenzor relativne deformacije u metodi konačnih elemenata. Diskretizacija jednačina kretanja metodom Galerkina. Linearizacija jednačina kretanja sistema konačnih elemenata. Rešavanje linearizovanog sistema jednačina kretanja. Osnovni linearizovani problemki teorije elastičnosti u metodi konačnih elemenata. Problem elastične stabilnosti. Problem sopstvenih oscilacija. Numerička integracija. Gausova integracija. Integracija u više dimenzija. Ponovljena integracija. Ekonomične integracione formule. Tačna integracija polinoma prvog reda. Integracione formule reda 2. Primena na simplekse. Struktura matrice masa. Struktura matrice napona ("geometrijske" matrice krutosti). Struktura matrice krutosti. Implicitni postupak rešavanja jednačina ravnoteže u slučaju malih pomeranja. Statički slučaj malih pomeranja.

4.

IMPLEMENTACIJA NUMERIČKIH ALGORITAMA ZA OPERACIJE NAD TIPIČNIM MATRICAMA RAČUNSKE MEHANIKE. Apsolutna i relativna greška približne vrednosti funkcije. Približne vrednosti elementarnih računskih operacija. Gausova metoda eliminacije. Opšti slučaj. Metoda optimalne eliminacije. Gausova metoda eliminacije za simetrični sistem. Trakaste matrice. Profilni postupak. Razredjene matrice. Metoda spregnutih gradijenata. Prekondicionirana metoda spregnutih gradijenata. Generalisani problem svojstvenih vrednosti i vektora. Ortogonalnost i ortonormiranost. Generalisani Jakobijev postupak. Standardni Jakobijev postupak. Postupak stepene iteracije. Konvergencija svojstvenih vrednosti i vektora kod stepene iteracije. Odredjivanje minimalne svojstvene vrednosti (inverzna iteracija). Odredjivanje ma koje svojstvene vrednosti (inverzna iteracija sa pomeranjem). Iteracija sa Relijevim količnikom. Konvergencija iteracije sa Relijevim količnikom. Slučaj više bliskih svojstvenih vrednosti. Strategija odredjivanja svojstvenih vrednosti i vektora delimičnog problema.

Beograd, 1990.

STATIKA I OTPORNOST MATERIJALA

VII (2+2) VIII (4+4) PU

Smer: Racionalna mehanika, Mehanika neprekidnih sredina

1.

STATIKA U RAVNI. Sila. Razlaganje sile na dve komponente, pravilo paralelograma sila, trougao sila. Sistem sučeljavajućih sila. Rezultanta sistema sučeljavajućih sila, analitičko i grafičko odredjivanje ove rezultante. Poligon sila. Pravilo projekcije sila. Uslovi ravnoteže sučeljavajućeg sistema sila (grafičko i analitičko predstavljanje ovih uslova). Moment sile za tačku u ravni. Predstavljanje momenta. Spreg sila. Transformacija spregova. Redukcije sile na datu tačku. Sistem proizvoljnih sila, analitički i grafički uslovi ravnoteže sistema. Svodjenje na rezultantu i spreg. Specijalni sistemi sila od tri i četiri sile. Uslovi za svodjenje na spreg i uslovi ravnoteže. Načini oslanjanja nosača. Oslonci, otpori oslonaca, ispitivanje ravnoteže.

2.

GRAFOSTATIKA. Poligon sila i verižni poligon. Vrste nosača i opterećenja. Otpori oslonaca. Ravnoteža punih nosača (prosta greda, konzola, greda sa popustima, statički odredjeni ramovi, Gerberov nosač. Crtanje statičkih dijagrama (dijagrama napadnog momenta, transferzalne i aksijalne sile) i odredjivanje opasnog preseka na osnovu analitičkih izraza za ove veličine. Ravnoteža rešetkastih nosača. Kremonina metoda čvorova , Kulmanova i Riterova metoda preseka. Parabolične i obične lančanice, vektorske i skalarne jednačine ravvnoteže lančanice.

3.

STATIKA U PROSTORU. Razlaganje sile u tri nekomplanarna pravca. Sistem sučeljavajućih sila u prostoru. Moment sile za tačku i osu. Promena momenta. Spreg sila. Transformacija spregova u prostoru. Sistem proizvoljnih sila. Ravnoteža prostornog sistema sila. Sistem paralelnih sila. Statičke invarijante. Svodjenje na torzer, glavni vektor i glavni moment sila. Redukcija torzera na silu, na spreg, na dinamu. Centralna osa. Vrste ležišta. Odredjivanje otpora oslonaca (sfernog i cilindričnog ležišta).

4.

TEŽIŠTA. Sistem vezanih paralelnih sila. Odredjivanje središta ovakvog sistema. Težište homogenih linija, površi i tela. Opšti obrasci. Definicija statičkih momenata i njihovo odredjivanje. Guldinove teoreme, Štajnerova teorema. Momenti inercije ravnih površina. Promena momenata inercije pri translaciji i rotaciji koordinatnog sistema. Glavne ose i glavni momenti inercije.

5.

ANALIZA NAPONA I DEFORMACIJE.

a) Analiza napona- Pojam napona i stanje napona. Osnovna hipoteza Otpornosti materijala. Odredjivanje napona iz statičkih uslova ravnoteže napona ( aksijalno naprezanje štapa , čisto savijanje, torzija štapa kružnog poprečnog preseka). Tenzor napona, komponentalni naponi, stav o konjugovanosti napona. Homogenost napona u okolini tačke. Linearno , ravno i prostorno stanje napona. Glavni naponi. Primeri. Razlaganje tenzora napona na sferni i devijatorski deo. Veze izmedju napona i spoljnih i površinskih sila.

b) Analiza deformacije - Pomeranje tačaka, pojam deformacije. Dilatacije i klizanja. Stanje deformacije u okolini tačke. Tenzor deformacije. Veze izmedju komponentalnih deformacija i komponentalnih pomeranja. Glavne dilatacije i glavni pravci deformacije. Ravno stanje deformacije. Razlaganje tenzora deformacije na sferni i devijatorski deo. Odredjivanje pomeranja iz zadatih komponentalnih deformacija, uslovi kompatibilnosti deformacije.

c) Veze izmedju napona i deformacije- Idealno elastično telo ( Hukov zakon ), Idealno plastično telo, uslovi plastičnog tečenja. Odredjivanje napona i deformacije u napregnutom elastičnom telu. Poluobratna metoda.

6.

NAPREZANJE GREDNOG NOSAČA- SEN-VENANOVI PROBLEMI. Aksijalno naprezanje, statički neodredjeni problemi pri aksijalnom naprezanju. Dimenzionisanje. Čisto pravo savijanje , deformacija, dimenzionisanje. Čisto koso savijanje. Ekscentrični pritisak (zatezanje), izraz za normalni napon, neutralna osa, jezgro preseka. Torzija grede proizvoljnog poprečnog preseka, torzija grede kružnog, eliptičnog i pravougaonog poprečnog preseka, analogija sa membranom. Čisto smicanje. Savijanje grede silama. Normalni napon i funkcija napona pri savijanju silama. Savijanje silama grede eliptičnog i pravougaonog poprečnog preseka. Hipoteza Žuravskog. Tehnička teorija savijanja grede silama. Deformacija grede pri savijanju silama. Elastična linija . Diferencijalna jednačina elastične linije, odredjivanje elastične linije u raznim slučajevima opterećenja. Odredjivanje ugiba i nagiba elastične linije.

7.

STATIČKI NEODREDJENI SISTEMI. Uvodne napomene, metode rešavanja. Primeri. Greda na tri oslonca opterećena ravnomerno, uklješteni nosači, statički neodredjeni ramovi , kontinualni nosači. Jednačina tri momenta ( Klaperonove jednačine ).

8.

DEFORMACIONI RAD. Opšte teoreme. Rad spoljnih sila. Deformacioni rad . Deformacioni rad izražen preko unutrašnjih sila. Primeri odredjivanja deformacionog rada za neke slučajeve naprezanja grednog nosača ( aksijalna naprezanja prizmatičnog štapa, torzija grede kružnog poprečnog preseka, čisto savijanje, savijanje silama ) . Energija promene oblika i energija promene zapremine. Beti-Maksvelov stav. Kastiljanovi stavovi. Odredjivanje pomeranja preko Kastiljanovog stava. Rešavanje statički neodredjenih zadataka. Principi o minimumu energije.

9.

IZVIJANJE GREDNOG NOSAČA. Uticaj aksijalnog naprezanja na ugib grede. Izvijanje grednog nosača. Postavka problema. Ojlerovi slučajevi izvijanja pravog štapa. Slobodna dužina izvijanja, vitkost štapa. Približno odredjivanje kritične sile metodom deformacionog rada. Izvijanje u plastičnoj oblasti. Dimenzionisanje pri izvijanju.

Beograd, 1999.

TEORIJA OSCILACIJA I STABILNOST KRETANJA

VII (2+2) VIII (2+2) PU

Smer: Racionalna mehanika, Mehanika neprekidnih sredina

0.

UVODNE LEKCIJE. Osnovna svojstva rešenja sistema diferencijalnih jednačina kretanja (u Lagranžovom i Hamiltonovom obliku). Ravnotežno stanje i periodično kretanje sistema. Fazne krive u okolini ravnotežnog stanja.

1.

STABILNOST KRETANJA. Stabilno, asimptotski stabilno i nestabilno kretanje (definicije u Ljapunovljevomom smislu). Jednačine poremećenog kretanja. Opšte teoreme direktnog Ljapunovljevog metoda ( I, II, III Ljapunovljeva teorema i Ćitajevljeva teorema). Linearizacija jednačina poremećenog kretanja. Opšti stavovi o stabilnosti linearnih sistema. Stabilnost linearnih sistema sa konstantnim koeficijentima (potrebmi i dovoljni uslovi). Stabilnost po linearnoj aproksimaciji. Stabilnost ravnotežnog stanja konzervativnog sistema ( Ležen Dirihleova teorema i problem njene inverzije). Uticaj sila raznih struktura na stabilnost ravnotežnog stanja konzervativnog sistema. Giroskopska stabilizacija.

2.

LINEARNE OSCILACIJE SISTEMA. Linearne oscilacije konzervativnog sistema (u R³). Normalni oblici oscilovanja. Uticaj dodatnih veza i krutosti sistema na sopstvene oscilacije. Sistemi sa parametrom. Bifurkacija ravnotežne mnogostrukosti. Ciklične trajektorije i njihova stabilnost. Prinudne oscilacije linearnog sistema pod dejstvom sile koja je periodična funkcija vremena.

3.

NELINEARNE OSCILACIJE. Egzistencija oscilatornog kretanja nelinearnog sistema (autonomnog). Sistemi sa malim parametrom. Poenkareova teorema o analitičkoj zavisnosti reenja od parametra. Metod malog parametra i njegova primena u teoriji kvazilinearnih oscilacija.

4.

OSCILOVANJE ELASTIČNIH TELA. Osnovni elementi teorije stabilnosti sistema sa raspodeljenim parametrom (u Ljapunovom smislu). Male oscilacije jednodimenzionih elastičnih tela (oscilovanje niti, uzdužne, poprečne i uvojne oscilacija grede i konzole).

Beograd, 1999.

MEHANIKA FLUIDA

VII (2+2) VIII (2+2) PU

Smer: Racionalna mehanika, Mehanika neprekidnih sredina

0.

UVODNI DEO. Fluid kao neprekidna materijalna sredina. Masa i gustina. Jednačina konzervacije mase.

1.

KINEMATIKA FLUIDA.

OSNOVI KINEMATIKE FLUIDA

Kretanje fluida. Brzina. Strujno polje. Putanje, čestica i strujne linije. Ubrzanje. Tenzor brzine deformacije i tenzor vrtložnosti. Glavni pravci tenzora brzinedeformacije. Brzina kubne dilatacije. Cirkulacija i protok. Izvori i ponori. Potencijalna strujanja. Vrtložna strujanja. Laminarna, složena laminarna i zavojna srtujanja.

DVODIMENZIJSKA STRUJANJA NESTIŠLJIVOG FLUIDA

Vrste dvodimenzijskih srtujanja. Ravanska strujanja. Strujna funkcija za ravanska strujanja. Vrtložna ravanska strujanja. Slaganje potencijalnih ravanskih strujanja. Primeri zbirnih potencijalnih ravanskih strujanja. Osnosimetrična strujanja. Strujna funkcija za osnosimetrična strujanja. Potencijalna osnosimetrična strujanja. Primeri potencijalnih osnosimetričnih strujanja.

DVODIMENZIJSKA STACIONARNA STRUJANJA STIŠLJIVOG FLUIDA

Ravanska stacionarna strujanja stišljivog fluida. Osnosimetrična stacionarna strujanja stišljivog fluida.

PRIMENA KOMPLEKSNIH FUNKCIJA KOD RAVANSKIH POTENCIJALNIH STRUJANJA NESTIŠLJIVOG FLUIDA

Kompleksni potencijal. Kompleksni potencijal osnovnih strujanja. Kompleksni potencijal zbirnih strujanja. Primeri konformnog preslikavanja.

2.

DINAMIKA FLUIDA.

OSNOVI DINAMIKE FLUIDA

Delovanje sila na fluid. Napon i tenzor napona. Zakoni količine kretanja i momenta količine kretanja. Diferencijalne jednačine kretanja. Glavni pravci tenzora napona. Konstitutivne jednačine. Navie-Stoksove jednačine.

DINAMIKA NEVISKOZNIH FLUIDA

Stanje napona u neviskoznom fluidu. Jednačine stanja neviskoznih fluida. Ojlerova jednačina. Helmholcova jednačina. Integrali Ojlerove jednačine. Bernulijeva jednačina za nestišljive fluide. Bernulijeva jednačina za stišljive fluide. Primena Bernulijeve jednačine kod stacionarnih potencijalnih dvodimenzijskih strujanja nestišljivih fluida. Primena Bernulijeve jednačine kod stacionarnih potencijalnih ravanskih strujanja stišljivih fluida. Sile pritiska na cilindričnom telu pri ravanskom potencijalnom strujanju nestišljivih fluida. Praktično izračunavanje glavnog vektora i glavnog momenta. Primeri izračunavanja glavnog vektora i glavnog momenta.

3.

STATIKA FLUIDA.

OSNOVI STATIKE FLUIDA

Stanje napona u mirnom fluidu. Diferencijalne jednačine ravnoteže. Osnovna jednačina statike fluida. Uslovi integrabilnosti i integrali diferencijalnih jednačina ravnoteže.

RAVNOTEŽA BAROTOPNIH FLUIDA U POLJU SILE ZEMLJINE TEŽE

Nestišljivi fluidi. Stišljivi fluidi. Relativno mirovanje nestišljivih fluida. Delovanje pritiska na površi potopljene u tečnost. Delovanje pritiska na tela potopljena u tečnost.

VEROVATNOĆA I STATISTIKA

Beograd, 1990.

Svi smerovi. VII (2+2), VIII (2+2) PU

Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.

Beograd, 1999.

ANALITIČKA DINAMIKA - TEORIJA ELASTIČNOSTI

VII (2+2) VIII (2+2) PU

Smer: Racionalna mehanika, Mehanika neprekidnih sredina

1.

Osnovne jednačine linearne Teorije elastičnosti: mere deformacije i uslovi kompatibilnosti deformacija: osnovni pojmovi analize napona; Košijeve jednačine kretanja i jednačine ravnoteže elastičnih tela; Hukov zakon; Lameove jednačine i Beltrami-Mičelove jednačine; jedinstvenost rešenja linearne Teorije elastičnosti; osobine jednačina ravnoteže u odsustvu zapreminskih sila; naponske funkcije.

2.

Sen-Venanov princip. Sen-Venanova poluobratna metoda. Sen-Venanovi problemi: a) Zatezanje i savijanje štapa podužnim silama. Jezgro preseka. b) Torzija štapa kružnog i proizvoljnog poprečnog preseka. Torzija štapa čiji je poprečni presek višestruko povezana oblast. Analogija sa membranom. c) Savijanje konzole poprečnom silom na kraju. Centar smicanja. Specijalni slučajevi, posebno istaknut slučaj kada opterećenje deluje u ravni u ravni simetrije poprečnog preseka. Odredjivanje pomeraja pri savijanju. Diskusija tehničke teorije savijanja.

3.

Ravni (dvodimenzijski) problemi: Ravna deformacija, ravno naprezanje, Erijeva naponska funkcija. Neki oblici Erijeve naponske funkcije koji predstavljaju rešenja različitih problema. Ravan problem u polarnim koordinatama ( opšti slučaj i rotaciono simetrični slučaj). Opšte Mičelovo rešenje. Pojam koncentracije napona. Primena funkcije kompleksne promenljive i komfornog preslikavanja.

4.

Trodimenzioni problemi: Kelvinovo rešenje, Bousineskovo i Papkovičevo rešenje. Rotaciono simetrično naprezanje tela.

5.

Elastični talasi.Osnovni tipovi talasa. Ravni talasi, sferni talasi. Prostiranje talasa.

TEORIJA RELATIVNOSTI, izborni predmet

VII (2+0) VIII (2+2) PU

Smer: Racionalna mehanika

1.

Pojam sveta specijalne relativnosti. Ortogonalnost vektora. Ortogonalna razlaganja vektora i tenzora. Geodezijske linije i kretanje po inerciji. Lorencove transformacije. Infinitezimalna Lorencova transformacija. Jednostavna Lorencova transformacija. Promene dužine i toka vremena. Slaganje brzina. Talasni frontovi i frekvencija. Doplerovski crveni pomak. Michalson-Morley-ev i Hafele-Keating-ov eksperiment. Masa, impuls i sila. Snaga i energija. Impuls i kinetički moment. Centar mase. Gustina, impuls i energija. Kinetički pojam pritiska. Tenzor energije elektromagnetnog polja.

2.

Opšta relativnost. Srazmernost teške i inertne mase ( Princip ekvivalentnosti ). Svet opšte relativnosti. Jednačine gravitacionog polja. Prostor sa sfernom simetrijom. Sferno simetrično gravitaciono polje. Horizont sferno simetričnog polja. Crna jama. Putanje planeta. Putanje svetlosnih zrakova. Promene u spektrima. Noviji opiti koji potvrdjuju opštu relativnost. Uvod u kosmologiju. Statička Vasiona. Nestacionarna Vasiona.

MAGNETOHIDRODINAMIKA, izborni predmet

VIII (2+0) PU

Smer: Racionalna mehanika

Integralni oblik jednačina kretanja. Jednačine elektromagnetnog polja. Jednačine dinamike. Konstitutivne veze. Opšte jednačine neprekidnog kretamja. Jednačine udarnih talasa. Jednačine elektromagnetnih udarnih talasa. Jednačine mehaničkih udarnih talasa. Prostiranje malih poremećaja. Diskusija Košijevog problema zaosnovne jednačine sistema. Brzine prostiranja različitih vrsta talasa. Jednoparametarski talasi i rimanske invarijante. Prosti talasi u MHD. Magnetoakustični prosti talasi. Prostiranje udarnih talasa. Geometrijske veze na udarnim talasima. Površine udarnih talasa. Hugoniot-ova relacija za skok unutrašnje energije.

TEORIJA UPRAVLJANJA KRETANJEM, izborni predmet

VII (2+2) PU

Smer: Racionalna mehanika

0.

UVOD. Postavke zadatka optimalnog upravljanja. Primeri sinteze optimalnog upravljanja kretanjem. Formulacija zadatka optimalnog upravljanja.

1.

OPTIMALNO UPRAVLJANJE LINEARNIM SISTEMOM. Dometni skup i njegova svojstva. Ekstremalno upravljanje. Upravljivost autonomnog sistema. Opservabilnost autonomnog sistema. Upravljanje optimalno po brzini dejstva. Optimalno upravljanje linearnim sistemom u slučaju kada je kriterijum dejstva zadan u obliku konveksnih funkcionela.

2.

UPRAVLJANJE NELINEARNIM SISTEMIMA. Rešavanje zadataka optimalnog upravljanja metodom klasičnog varijacionog računa. Metoda Lagranžovih množilaca. Zadatak optimalnog upravljanja sistemom sa slobodnim kretanjem. Lagranžov princip u zadatku optimalnog upravljamja - Ojler-Lagranžova teorema. Pontrjaginov princip maksimuma: Princip maksimuma u zadatku sa slobodnim krajem. Pontrjaginov princip maksimuma za autonomni sistem. Dokaz principa maksimuma ( u osnovnim crtama ). Pontrjaginov princip maksimuma za neatomni sistem.

3.

SINTEZA OPTIMALNOG UPRAVLJANJA. Osnovni zadatak sinteze optimalnog upravljanja ( za nelinearne sisteme ). Optimalno upravljanje kretanjem krutog tela koje ima nepomičnu tačku. Sinteza upravljanja optimalnog po brzini dejstva. Optimalna astronavigacija ( osnovni pojmovi i razmatranje jednostavnih zadataka ).

4.

DINAMIČKO PROGRAMIRANJE . Postavka zadatka. Belmanov princip. Veza izmedju Belmanovog principa i Pontrjaginovog principa maksimuma.

OSNOVNA LITERATURA:

1. V. M. Aleksejev, V. M. Tihomirov, S.V. Fomin Optimalno upravljanje ( na ruskom ), Moskva 1979.

2. E.B. Lee, L. Markus, Fundations of optimal control theori ( prevod na ruski ), Moskva 1972.

3. L.S. Pontrjagin i dr. Matematička teorija optiumalnih procesa ( na ruskom ), Moskva 1976.

4. Belman, Dinamik programing, New York, 1957. ( postoji ruski prevod).

TEORIJA PLASTIČNOSTI, izborni predmet

VII (4+0) VIII (4+0) PU

Smer: Mehenika neprekidnih sredina

1.

Osnove kinematike i dinamike plastičnih materijala: Mere deformacije, osnovni pojmovi, jednačine kretanja.

2.

Mehaničke karakteristike: Osnovni dijagrami napon-deformacija, osnovne pretpostavke, karakteristike ponašanja materijala u slučaju jednoosnog naprezanja, osnovne jednačine matematičke teorije plastičnosti.

3.

Uslov plastičnog tečenja materijala. Generalizacija uslova tečenja. Formulacija površi tečenja: Osnovni uslov tečenja. Generalisani uslov tečenja i njegova matematička formulacija. Uvodjenje pojma naponskog prostora i formulacija uslova tečenja u šestodimenzionom naponskom prostoru. Formulacija uslova tečenja u naponskom prostoru preko momentnih invarijanti i razmatranje specijalnih slučajeva. Uvodjenje pojma ojačanja materijala.

4.

Tipovi uslova tečenja: Treska uslov tečenja, fon Mizesov uslov tečenja, Kulonov uslov tečenja.

5.

Konstitutivne jednačine: Sen-Venan-Mizesove jednačine,Prandtl-Rajsove jednačine. Pojam plastičnog rada, konstitutivne jednačine za materijale sa oja]anjem. Drukerov postulat i opšte konstitutivne jednačine.

6.

Elasto-plastični problemi: Torzija, torzija štapa kružnog poprečnog preseka, ovalni presek Sokolovskog, pravo čisto savijanje ( pravo čisto savijanje štapa pravougaonog poprečnog preseka, pravo čisto savijanje poprečnih preseka sa jednom osom simetrije), pravo savijanje silama ( pravo savijanje silama štapa pravougaonog poprečnog preseka ), cilindar opterećen hidrostatičkim pritiskom.

TERMOELASTIČNOST, izborni predmet

VII (4+0) VIII (4+0) PU

Smer: Mehenika neprekidnih sredina

1.

Termodinamičke osnove Termoelastičnosti: Opšti oblik jednačina balansa ( balans mase, balans količine kretanja, balans momenta količine kretanja, Balans energije ). Prvi i drugi zakon termodinamike. Pojam disipacije energije i entropije i zakon balansa, odnosno proizvodnje entropije. Konstitutivne jednačine.

2.

Osnovne jednačine spregnute termoelastičnosti: Linearne jednačine spregnute termoelastičnosti, nespregnuta linearna teorija, kvazistatička i statička termoelastičnost.

3.

Ravan problem termoelastičnosti. Savijanje i izbočavanje tankih ploča pod uticajem temperature.

MEHANIKA MATERIJALA, izborni predmet

VII (4+0) VIII (4+0) PU

Smer: Mehenika neprekidnih sredina

1.

FIZIČKE OSNOVE MEHANIČKOG PONAŠANJA MATERIJALA. Uobičajene pretpostavke o mehaničkim osobinama materijala, a naročito metala. Polikristalna struktura metala. Kristalna struktura materijala. Kovalentna veza. Veze keramičkog tipa. Veze metalnog tipa. Kristalografske ravni i pravci u prostoj kubičnoj rešetki. Kubična zapreminski centrirana rešetka. Kubična pljosno- centrirana rešetka. Heksagonalno gusto upakovana rešetka. Anizotropija kristalne strukture metala. Elastične medjuatomske sile. Teorijska koheziona čvrstoća metala ( čupanje u savršenoj rešetki ). Klizanje u savršenoj rešetki. Linijski defekti kristala - dislokacije. Ravni klizanja. Plastična deformacija. Lom. Tipovi loma metala. Prslina elipti nog oblika. Krt lom. Metalografski aspekti loma. Dislokacione teorije krtog loma. Duktilni ( žilavi ) lom.

2.

NEKI OSNOVNI PARAMETRI TEORIJE ELASTIČNOSTI I PLASTIČNOSTI I NJIHOVO EKSPERIMENTALNO ODREDJIVANJE. Koeficijenti linearne teorije elastičnosti i njihovo eksperimentalno odredjivanje. Tenzori napona u mehanici kontinuuma i ispitivanje materijala zatezanjem. Osnovne postavke deformacione teorije plastičnosti. Veza napona i deformacija u deformacionoj teoriji plastičnosti izražena pomoću promenljivog koeficijenta smicanja. Pojmovi ekvivalentnog napona i deformacije. Ekvivalentni napon pri jednoaksijalnom naprezanju. Ekvivalentna deformacija pri jednoaksijalnom naprezanju. Veza napona i deformacija izražena pomoću sekantnog modula smicanja i odgovarajućeg Poasonovog koeficijenta. Poasonov koeficijent u deformacionoj teoriji plastičnosti. Eksperimentalno odredjivanje karakteristika materijala bitnih u deformacionoj teoriji plastičnosti. Osnovne postavke teorije plastičnog tečenja. Prantl-Rojsove jednačine. Plastični modul. Brzina plastične deformacije. Brzina elastične deformacije. Ukupna brzina deformacije. Brzina ekvivalentnog napona. Evolucione jednačine za napon. Eksperimentalno odredjivanje karakteristika materijala bitnih u teoriji plastičnog tečenja.

3.

REOLOŠKI MODELI. Reološki model Hukovog materijala. San Venanovo telo. Prantlovo telo. Elasto-plastično telo sa linearnim deformacionim ojačanjem. Baušingerov efekt.

4.

ISPITIVANJE ZATEZANJEM. Izbor oblika i veličine epruvete za ispitivanje zatezanjem. Dijagram napon-jedinično izduženje pri ispitivanju zatezanjem. Zatezna čvrstoća. Odredjivanje granice razvlačenja pri ispitivanju zatezanjem. Odredjivanje modula elastičnosti pri ispitivanju zatezanjem. Stvarna kriva napon-deformacija pri ispitivanju zatezanjem. Empirijske relacije napon-deformacija.

5.

ISPITIVANJE PRITISKIVANJEM. Dijagram napon-jedinično skraćenje pri ispitivanju pritiskivanjem. Stvarna kriva pritiskivanja. Pritisna čvrstoća. Granica tečenja pri ispitivanju pritiskivanjem.

6.

ISPITIVANJE UVIJANJEM. Pomeranje pri uvijanju i njegovo merenje. Odredjivanje modula klizanja ( smicanja ) G uvijanjem epruvete kružnog poprečnog preseka. Odredjivanje modula klizanja ( smicanja ) G uvijanjem epruvete kružno-prstenastog poprečnog preseka. Odredjivanje Poasonovog koeficijenta iz rezultata uporednih ispitivanja zatezanjem i uvijanjem.

7.

ISPITIVANJE SAVIJANJEM. Izvodjenje ispitivanja savijanjem. Raspodela napona u slučaju elastičnih deformacija savijanja. Raspodela napona u slučaju plastičnih deformacija savijanja. Savojna čvrstoća.

8.

ISPITIVANJE UDARNIM OPTEREĆENJIMA. Žilavi i krti lom. Ispitivanje zatezanjem udarnim dejstvom sile. Ispitivanje savijanjem udarnim dejstvom sile na epruvetama sa zarezom.

9.

ISPITIVANJE ZAMARANJEM. Zamor metala. Termini, definicije i oznake pri ispitivanju zamaranjem. Karakteristične veličine pri ispitivanju zamaranjem. Epruvete i način opterećivanja pri ispitivanju zamaranjem. Tok ispitivanja zamaranjem. Velerov dijagram.

MEHANIKA VISKOZNIH FLUIDA, izborni predmet

VII (2+2) VIII (2+2) PU

Smer: Mehenika neprekidnih sredina

1.

OSNOVI MEHANIKE VISKOZNIH FLUIDA. Uvod. Objektivne veličine i princip objektivnosti. Princip materijalnog izomorfizma za viskozni fluid. Jednačina balansa energije. Disipativna funkcija i Klaizius-Diem-ova nejednačina. Termodinamički dopustivi procesi viskoznog tečenja. Viskozni fluidi bez provodjenja toplote. Nestišljivi fluidi bez provodjenja toplote. Viskozni fluidi sa provodjenjem toplote. Konstitutivne jednačine. Linearne konstitutivne jednačine. Hidrostatički pritisak. Koeficijenti viskoznosti. Navije-Stoksove jednačine. Potpuni sistemi parcijalnih diferencijalnih jednačina. Granični i početni uslovi. Specijalni slučajevi kretanja viskoznih fluida. Metod dimenzijske analize. Linearno i turbulentno strujanje.

2.

PRIMERI TAČNIH REŠENJA NAVIJE-STOKSOVIH JEDNAČINA ZA NESTIŠLJIVI FLUID. Napomene u vezi sa problemima integracije Navije-Stoksovih jednačina. Opšti slučaj pravolinijskog stacionarnog strujanja. Pravolinijsko strujanje izmedju dve paralelne ploče. Pravolinijsko strujanje pod dejstvom sile Zemljine teže pri postojanju slobodne površi. Pravolinijsko strujanje kroz kružne cilindrične ploče. Eksperimentalno odredjivanje koeficijenta viskoznosti. Pravolinijsko strujanje Kroz pravu kružnu prstenastu cev. Opšti slučaj kružnog stacionarnog strujanja. Stacionarno strujanje izmedju dva obrtna koaksijalna kružna cilindra.

3.

STRUJANJE NESTIŠLJIVOG FLUIDA PRI MALIM REJNOLDSOVIM BROJEVIMA. STOKSOVA METODA. Približne Stoksove jednačine. Ravansko stacionarno strujanje. Kretanje kru]nog cilindra kroz nestišljivi viskozni fluid. Stoksov paradoks. Kretanje lopte kroz nestišljivi viskozni fluid.

LITERATURA :

1. Plavšić M.: Mehanika viskoznih fluida, PMF, Beograd, 1986.

2. Eringen A.C.: Mechanics of Continua, John Wiley and Sons, Inc. 1967.

3. Voronjec K. i N. Obradović: Mehanika fluida, Gradjevinska knjiga, Beograd, 1960. smallskip 4. Saljnikov V.: Dinamika viskoznog nestišljivog FLuida (poslediplomski kurs na Mašinskom fakultetu), Mašinski fakultet, Beograd, 1969.

5. Sljozkin N.A.: Dinamika vjaskoj njeszimaemoj zidkasti, Moskva, 1955.

6. Lojcjanskij L.G.: Mehanika zidkosti i gaza, Moskva, 1957.

7. Kocin N.E.I.A. Kibelj, N.V. Roze: Teoreticeskaja hidrodinamika, Moskva, 1963.

8. Plavsić M.: Mehanika fluida, Naučna knjiga, 1978.

9. Andjelić T.: Tenzorski račun, Treće izdanje, Beograd, 1973.

STRANI JEZIK 2

Beograd, 1990.

Svi smerovi. VII (1+1), VIII (1+1) PU

Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.