Naći krug koji prolazi kroz dve date tačke i dodiruje datu pravu

Neka su date dve tačke A i B i prava $p_1$.
Treba kroz tačke A i B povući krug koji dodiruje pravu $p_1$.

1. Analiza: Na simetrali s duži AB se nalazi centar svakog kruga koji prolazi kroz tačke A i B. Tačka S je presek simetrale s sa datom pravom $p_1$.
   Uzmimo na simetrali s proizvoljnu tačku K i spustimo normalu KD na pravu $p_1$. Pomoćni krug poluprečnika KD sa centrom u K dodiruje pravu $p_1$, ali ne mora prolaziti kroz tačke A i B.
   
   
   Neka prava AS seče krug K u tački $A_1$. Konstuišemo duž $AO_1$ paralelno sa $A_1K$. Neka je $D_1$ projekcija tačke $O_1$ na pravu $p_1$. Iz sledećih proporcija koje važe:
   
   $$KD:O_1D_1=SK:SO_1$$
   
   
   
   
   $$KA_1:O_1A=SK:SO_1$$
   
   
   sledi da je
   
   $$KD:O_1D_1=KA_1:O_1A$$
   
   
   Kako je $KD=KA_1$, to je $O_1D_1=O_1A$, a kako je tačka $O_1$ na simetrali s, to je $AO_1=BO_1$. Dakle važi
   
   $$O_1A=O_1B=O_1D_1.$$
   
   
   Za određivanje drugog traženog kruga O2 može se uzeti u obzir da je:
   

   $$CD_1=CD_2$$ (1)

   
   
   gde je $D_2$ podnožje normale spuštene iz $O_2$ na pravu $p_1$, a C, presek prave $p_1$ i prave kroz date tačke A i B. Jednačina (1) izražava jednakost potencije tačke C u odnosu na krug $O_1$, čiji je izraz:
   
   $$CA\cdot CB=CD_1^{2}$$
   
   
   i potencije iste tačke C u odnosu na krug $O_2$
   
   $$CA\cdot CB=CD_2^{2}.$$
   
   
   Posle određivanja tačke $D_2$ na $p_1$, konstrukcijom normale na $p_1$ u tački $D_2$, određuje se položaj tačke $O_2$, centra drugog traženog kruga, a time i sam traženi krug.

2. Konstrukcija: Konstrukcija se vrši ovim redosledom:
   1. Za date tačke A, B i datu pravu $p_1$ se konstruiše simetrala s duži AB i presečna tačka te simetrale i prave $p_1$ se označi sa S. Na pravoj s uzme se proizvoljna tačka K i tačka M, sredšte duži AB.
   2. Iz tačke K spuštamo normalu na $p_1$ i podnožje označimo sa D. Krug sa poluprečnikom KD dodiruje pravu $p_1$.
   3. Iz tačke A crtamo pravu AS i sa $A_1$ označimo presečnu tačku te prave sa krugom K.
   4. Presek $O_1$, prave $AO_1$, paralelne sa $A_1K$ i simetrale s, određuje centar prvog traženog kruga.
   5. Za drugi krug odmerimo od C duž $CD_2=CD_1$.
   6. Iz $D_2$ dižemo normalu na pravu $p_1$. Presek te normale sa simetralom s određuje centar $O_2$ drugog traženog kruga.
3. Dokaz: U konstrukciji je postupno opisan način razmišljanja, tako da u dokazu navodimo samo stav da dve potencije iste tačke imaju iste vrednosti izražene pomoću kvadrata tangentnih odsečaka.

4. Diskusija: Uslovi ovog zadatka se izražavaju položajem određene duži AB prema datoj pravoj $p_1$. Za parametre tih podataka možemo uzeti ove tri veličine:
   • h je odstojanje tačke A od prave $p_1$,
   • H je odstojanje tačke B od iste prave $p_1$
   • d je rastojanje između h i H
     

   Pri tome, mora da važi:
   

   $$0\leq h\leq H, \qquad d\geq 0$$
   
   

   Rezultati diskusije (sl. 8) mogu se svesti u tablicu: